積立てによる将来価値を等比数列の和で考えてみる

積立てによる将来価値を求めるにはエクセルのFV関数を利用すれば求めることができますが、数学の公式を用いて算出してみたいと思います。

問題

2018年より毎年の年末に50万円を積立てて貯蓄をしたい。
年利2%で10年間積立てた場合、10年後の2028年にはいくらになっているでしょうか?

 

エクセルで毎年の積立金をそれぞれ期日(2028年末)まで計算して合計すると、6,084,358円となります。(グレー部分)

これをエクセル関数で計算するにはFV関数を使用し次のように算出します。

=FV(利率, 期間, 定期支払額, 現在価値, 支払期日)
=FV(2%,  11 , -500000, 0, 0 )
=6,084,358

注意
「期間」の位置に指定するのは、10年間運用するので「10」としてしまいがちですが、
これは運用期間ではなく積立回数を入力する必要があるため「11」と入力しなければなりません。

 

各年末に積立てた金額(50万円)の2028年の元利合計は,
等比数列の公式で求めることができ、

50万円 ×(1+2%)^運用年数   で計算できます。

等比数列の説明はこちら→ 将来価値を等比数列で考える

その等比数列で求めたそれぞれの金額を合計したものが、積立てによる将来価値の金額の答えとなります。

すなわち、「等比数列の和」というやつですね。

等比数列の和の公式は

= 初項  ×( 1  −   公比^項数  )  / (1-公比)

であり、求めたい年度の項数を指定してやれば、その年度の積立元利合計が求まります。

2028年末の金額を求めるには

初項: 50万円 ・・積立額
公比: (1+2%)・・年利
項数:11・・2028年の項数は、初年度2018年を1として11番目に相当

=50万円  ×(1-(1+2%)^11  )   /   ( 1-(1+2%))
=6,084,358

となります。

 

投資計算はエクセル関数を利用してすべきです。
しかし、出た答えも検証ができるように数式でも算出できるようにしておきたいものです。

実際、私もFV関数での計算と等比数列の和の計算の答えが違っていたため、FV関数の「期間」に設定する数値の考え方が間違えていることに気づきました。

 

 

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