将来価値を等比数列で考える

将来価値を算出するにはエクセルのFV関数を使用すれば答えが出ます。

しかし、FV関数が正しく使えているか確認をするため数式でも計算できるようにしたいところです。

問題

100万円を10年間、金利2%で運用する場合、10年後いくらになっているでしょうか?

 

この場合、エクセルのFV関数を使用すると答えは次のようになります。

=FV(利率, 期間, 定期支払額, 現在価値, 支払期日)
=FV(2%, 10, 0, -1000000, 0)
=1,218,994

注意
問題には「10年後いくらになっているか」となっていますが、具体的にいつ時点の金額を算出するのかを明確にする必要があります。

期首に投資をする場合と、期末に投資をする場合では10年後の日付は1年違ってきます。

エクセル関数を利用するときは、期間に「10」と入れるだけであまりいつ時点の金額なのかを意識せずに算出しがちなので注意が必要です。

期末の金額を知りたいとき、

期末に投資をする場合は、10年間の運用になるので「期間」は「10」でよいのですが、

期首に投資をする場合は11年間の運用になるので「期間」は「11」となります。

 

等比数列で算出する

問題

2018年に投資をして10年間金利2%で運用した場合、2028年にはいくらになるでしょうか?

 

このように、「2028年には」と具体的になっていると、
「2028年のいつ?」という疑問が自然と出てきますね。

2018年の年末に投資をして、10年後の2028年の年末にいくらになっているかを算出することにします。

それぞれの年度末の元利累計は次のように計算します。

2018年末・・1,000,000
2019年末・・1,000,000×(1+2%)
2020年末・・1,000,000×(1+2%)×(1+2%)
2021年末・・1,000,000×(1+2%)×(1+2%)×(1+2%)
2022年末・・1,000,000×(1+2%)×(1+2%)×(1+2%)×(1+2%)

投資額1,000,000円をSとして、式を整理すると
2018年末・・S
2019年末・・S(1+2%)^1
2020年末・・S(1+2%)^2
2021年末・・S(1+2%)^3
2022年末・・S(1+2%)^4

となります。

投資額Sを始めとして、年度が進むごとに(1+2%)を掛け算していく式となっています。

では10年後の2028年末の計算式はどうなるでしょうか?
2028年末・・S(1+2%)^10
となります。

ある数値を始めとして、一定の数値を乗じていく場合の公式について見覚えがあるかと思います。

「等比数列」というやつですね。
高校の授業でやった(はず)のではないかと思います。

等比数列とは、同じ数をかけ続ける数列です。

たとえば、

①始め2からスタートして、次々と2をかけ続けたら次のようになります。

2, 4,   8,16,32,64・・・

②始め3からスタートして、次々と2をかけ続けたら

3,6,12,24,48,96・・・

このように、始めの数を「初項」とよび、
次々のかける数値を「公比」とよびます。

①の初項は2、公比は2
②の初項は3、公比は2

となります。

等比数列とは、初項に一定の数をかけ続けていった数列ですが、
初項と公比がわかれば、求めたい先の数がわかります。

何番目の数値が何になるかがわかる式を「一般項」とよび
次のように表します。

求めたいn番目の数値 = 初項  ×   公比^(n−1)

2から始まり、10番目の数値は
=2×2^ (10-1)
=1,024

とすぐにわかります。

先の問題は、

投資額100万円に、(1+2%)を次々とかけていった数式となっていました。

初項:投資額の 100万円
公比:金利の (1+2%)・

これより2028年の数値を求めると

2028年は2018年を1として11番目にあたるから
=100万円  ×(1+2%)^(11-1)
=1,218,994円

と算出できます。

「^」はキャレットまたはハットとよび、累乗を意味し、
(1+2%)の(11-1)乗を計算しています。

 

計算はエクセル関数を利用すればよいですが、その検証方法も知っておく必要がありますので公式でも計算できるようにしておきましょう。

積立てによる将来価値の計算はこちら
→ 積立てによる将来価値を等比数列の和で考えてみる

 

 

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です